第三单元《分数除法》教材分析

本单元的教学内容主要是分数除法的计算法则和用分数除法解决实际问题，下表是内容的编排。

计算法则

分数除以整数（例1）

整数除以分数（例2、例3）

分数除以分数（例4）               练习十一

实际问题

分数除法应用题（例5）

两步计算/分数乘除混合运算（例6）   练习十二

“整理与练习”

从上面的表格里，可以看到教材在编排上有三个特点。 

第一，计算内容编排成两段： 一是计算法则，二是乘除两步计算。两段之间穿插解决实际问题，留出了巩固法则、形成计算能力的时空。这是考虑到从理解法则到掌握法则需要一段过程，教学应遵循这个规律。结合解决实际问题应用计算知识，能起巩固知识、熟练技能的作用。在此基础上才能比较轻松地进行分数乘除混合运算。 

第二，计算法则的教学编排细致，从分数除以整数到整数除以分数，再到分数除以分数，最后才形成包摄性强的法则。分数除法是转化成分数乘法计算的，转化的方法是乘除数的倒数，例1至例4都教学这样的转化。前两道例题在操作中开展形象思维，体会转化是合理的；后两道例题通过猜想与验证，理解转化是必然的。这样的编排循序渐进，使法则的教学不是被动接受，而是主动建构；不仅是形成知识技能，还是发展数学思考、培养解决问题策略的载体。 

第三，单独编排例题教学应用题。本单元教学分数除法应用题，是在分数乘法概念的基础上列方程解答的。它与分数乘法应用题，在数量关系上有一致的地方，也有不同的地方，有许多可以比较、需要区分的内容。由于解法比较特殊以及教学内容比较多，单独编排有利于教学。 

一、 在图画上分——感悟算法。 

分数除以整数、整数除以分数，是分数除法中比较简单的情况。要从中初步体会，分数除法可以通过被除数乘除数的倒数进行计算。为了有利于体会，这两道例题都选择可以操作的素材。 

例1呈现了4/5升果汁的图画，让学生在图中分一分，算出结果。一部分学生在直观操作中会看到4/5平均分成2份，每份是2/5，列出算式4/5÷2=2/5。“兔子”卡通的思考和这部分学生的想法一致，它的“4个1/5平均分成2份”清楚地解释了4÷2/5的意思。另一部分学生在直观情境的支持下，从4/5平均分成2份推理，得出就是求4/5的1/2。“小鸟”卡通把这样的思考用式子的恒等变换表示出来，就是4/5÷2=4/5×1/2。教学例1要在鼓励独立探索和解决问题方法多样的前提下，突出“小鸟”卡通的方法。这是学生第一次感悟分数除法和分数乘法的联系，对继续教学分数除法有定向作用。第55页的“试一试”计算4/5÷3。表面上看，似乎只是把例1算式的除数“2”改成“3”，其实它的计算中有很丰富的思考内容。如果采用4÷3/5这种方法，商的分子不是整数，无论是表示还是化简都很麻烦。如果采用4/5×1/3这种方法，能很快得到结果。挖掘“试一试”里的思考内容，教学要注意三点：一是让学生算一算，在教材上通过填空得到结果；二是让学生想一想，这里用了“兔子”卡通的方法还是“小鸟”的方法，为什么不用另一种算法；三是让学生说一说，计算分数除以整数的策略与过程，初步学会算法。 

例2教学整数除以分数，这里的除数是1/2、1/3、1/4，这些分子都是1的分数。选择这样的除数，便于通过操作解决实际问题，感受整数除以分数的计算方法。这道例题的教学分三步进行：第一步在“4个橙子可以分给几人”的问题情境中引出整数除以分数的算式。先是每人吃2个橙子，求可以分给几人的算式是4÷2。再是每人吃1/2个、1/3个、1/4个，求可以分给几人的数量关系与4÷2相同，通过类比推理，列出4÷1/2、4÷1/3、4÷1/4等算式。第二步看图计算4÷1/2，初步感悟算法。由于每人吃1/2个橙子，因此教材把4个橙子按1/2个、1/2个……画，一共画了8个1/2。“小猴”卡通看图知道可以分给8人，即4÷1/2=8（人）。“小鸟”卡通看图时想： 1个橙子可以分给2人，4个橙子可以分给4×2=8(人)。4÷1/2和4 ×2都是求4个橙子可以分给几人的算式，得数都是8，它们能组成等式4÷1/2=4×2。教材里的“想一想，1/2与2有什么关系”在引导学生观察等式，研究等式从左边到右边的变化，初步发现整数除以分数可以变成这个整数乘分数的倒数，感受这可能是计算分数除法的策略和方法。因此说，4÷1/2的教学要领是建立等式、研究变化、领悟算法。第三步通过画图操作，计算4÷1/3和4÷1/4。这一步以4÷1/2的活动经验为基础，要求学生独立进行。在计算4÷1/3时，把代表1个橙子的圆三等分，表示出每人吃1/3个。通过画图看出1个橙子给3人吃，4个橙子给4×3=12(人)吃。据此写出等式4÷1/3=4×(3)。用同样的操作和思考，还能写出等式4÷1/4=4×(4)。寻找整数除以分数的算法是例题的教学任务，教材要求学生思考“括号里的数与除数有什么关系”，引导他们再次感受整数除以分数改写成乘法的关键与要领。 

二、 验证猜想——确认算法。 

例3仍然是整数除以分数，它的除数不是几分之一那样的分数，而是几分之几的分数。如果说例2是整数除以分数的特殊情况，那么例3就是一般情况了。例4是分数除以分数，能统摄前面教学的分数除以整数和整数除以分数，因而更具代表性。编排这两道例题，要得出分数除法的计算法则。 

两道例题都有示意图，从图画里看到除法算式的商。例3用一根线条表示4米彩带，其中的每1米都平均分成3份，还涂色表示出1个2/3米。学生就可以在表示4米的线条上数出一共有几个2/3米，得到4÷2/3=6（段）。例4画了量杯的图，看着上面的刻度能够知道9/10里面有3个3/10，9/10÷3/10=3。 

两道例题都要验证分数除法可以转化成分数乘法。例1计算分数除以整数，例2计算整数除以几分之一的分数，初步知道分数除法可以变成乘法来计算。例3加强对这种转化的体验，要求学生想一想等式4÷2/3=4×3/2成立吗？这个等式的出现，源自例1、例2的计算体验，是一个猜想。它是否成立？需要验证。其中左边的4÷2/3=6，在示意图中已经知道。右边的4×3/2,通过计算得到6。两道算式得数相同，表示等式成立，证实了猜想是正确的。教学例4的时候，学生对分数除法转化成分数乘法的心向比较明显和强烈了，教材让他们按这样的思路试着算一算，得到与示意图相同的得数，从而确认猜想成立。 

两道例题都小结算法。例3从4÷1/2、4÷1/3、4÷1/4和4÷2/3，想想整数除以分数应该怎样计算。还可以相对于例1的分数除以整数的算法，体会分数除法变成乘法，应该用被除数乘除数的倒数。例4总结算法的视野比较开阔，要得出分数除法的计算法则。因此这里可以先小结分数除以分数的算法，再联系分数除以整数和整数除以分数的计算，找出这些分数除法在计算时有相同的策略与转化方法。然后用甲数和乙数分别表示被除数和除数，准确而简明地表达分数除法的计算法则。

三、 找数量关系式——列方程解题的关键。 

这道例题的教学重点是为什么用方程解答，以及怎样列出方程。体会列方程解的原因，就掌握了这类实际问题的特点。学会了列方程的方法，就把握了解题的关键。教材把这道例题编排在计算教学的后面，就是要突出上述的思想方法。这也是例题只到写出方程为止，把剩下的都留给学生的原因。 

分析数量关系是解决实际问题的一个重要步骤。解答分数应用题，要抓住分数的意义分析数量关系。“小熊”卡通提出的“大瓶和小瓶的果汁量有什么关系”，是引导学生仔细领会“小瓶的果汁量是大瓶的2/3”的含义。联系“求一个数的几分之几是多少，用乘法计算”这个概念，写出数量关系式。在“大瓶的果汁量×2/3=小瓶的果汁量”的上面，小瓶果汁量已知，求大瓶的果汁量，显然可以列方程解答。 

理解这段教材，要注意“可以列方程解”是分析数量关系的结果。是通过在等量关系式上落实已知与未知后作出的决策。教学要详尽地展开“分析分数的意义→得出等量关系→选择解题方法”的过程，让学生知道应该怎样想，学会这样的思考。 

“试一试”和练习十二第1题，都要求学生先把数量关系式补充完整，再解答。在教学列方程解决实际问题的起始阶段，提出这样的要求是必要的。能进一步突出解决实际问题要分析数量关系，帮助学生掌握分析数量关系的方法，体会列方程解决实际问题的特点。在基本掌握了思考的要领和方法之后，只要把数量关系式想在脑中，没有必须写出来的规定。 

在练习十二里还安排了第三、四单元教学的分数应用题的对比练习，如第7、8题。“对比”既要比不同，准确地区分它们，也要比相同，在本质上把它们有机地联系起来。相同都表现在数量关系式上，即都要抓住分数的意义分析数量关系，而且都可以表示成数量关系式。不同也表现在数量关系式上。第三单元教学的分数应用题，已知条件都在数量关系式的左边，关系式右边的数量是要求的问题，因此根据数量关系式就能列出算式；第四单元教学的分数应用题，已知条件不集中在数量关系式的一边，而是分散在两边，要求的问题也不在数量关系式的右边，所以列方程解答比较方便。以第7题为例。 

我们的教学历来十分重视区别不同的分数应用题，过去把两类应用题对立起来，过分强调区别，往往收不到理想的效果。新教材在数量关系上求同存异，组织两类应用题的知识结构，用对立统一的观点处理两类应用题的关系，已经在教学实践中得到肯定和赞赏。

四、 计算两步式题——巩固分数除法法则。 

例6是乘除两步计算的实际问题，教学分数乘除混合或连除计算。例题可以列出不同的算式解答，两种解法都先分步解，其中有一步是分数乘法，另一步是分数除法。分步解答能够让学生明白，在计算分数除法时，要“乘除数的倒数”，在计算分数乘法时，不应这样做。这对计算综合式是十分有用的。另外，先分步解答还能降低列出综合算式的难度。 

列出的两道综合算式，教材已经计算了一道。示范了计算分数乘除混合式题，一般先转化成分数连乘，再约分、相乘。突出了只能把算式里的除法变成“乘除数的倒数”。教材把另一道综合算式留给学生计算。计算前应该想一想，怎样把这个分数乘除混合的算式变成分数连乘的算式。计算后应该比一比，两道综合算式在计算时有什么相同点，进一步突出计算的策略和转化的方法。 

在计算乘除混合式题时得到的体验会迁移到分数连除里去。教材在“试一试”之后让学生说说，分数连除或分数乘除混合运算可以怎样计算，促进迁移，发展认知结构，并在“练一练”中得到巩固。“练一练”的两道题分别是乘除混合和分数连除计算，在计算之后可以组织学生辨辨左题里的除数与乘数，比比右题里的整数与分数，说说计算的体会，使计算的思路更清楚、牢固，计算的技能更扎实、灵活。

比的基本性质和化简比

教学目标：

1．根据除法中的商不变性质，利用知识的迁移规律，使学生理解比的基本性质。

2．通过学生的自主探讨，掌握化简比的方法并会化简比。

 3．初步渗透事物是普遍联系和互相转化的辩证唯物主义观点。

教学重难点：

教学重点：理解并掌握比的基本性质。

教学难点：应用比的基本性质把比化成最简单的整数比。

教具、学具：多媒体、小黑板

教学过程：

一、拟定导学提纲，自主预习

1、复习比和分数、除法之间的关系，孕伏新知。

比         分数           除法

5:7      （    )         (     )

(   )        7/8          (     )

(   )      (     )         8 ÷10

10：15    （     ）      （     ）

提问：比和除法，比和分数之间有那些联系?

出示三个分数：3/4 、6/8 、9/12 .

问：（1）这三个分数相等吗？为什么？

（2）可写成比的形式分别是什么？

（3）这三个比相等吗？为什么？

（3：4=6：8=9 ：12）

（4）这三个比是怎样变化的？有什么规律？

（5）回忆：除法有什么性质？分数有什么性质？他们的内容是什么？

引导学生根据商不变的性质和分数的基本性质，猜想：比有什么性质？小组交流。

导语。同学们，通过上节课的学习，我们知道了比的意义和求比值的计算方法。这节课我们继续来学习有关比的知识。

2．出示学习目标。

（1）根据除法中的商不变性质，利用知识的迁移规律，使学生理解比的基本性质。

（2）通过学生的自主探讨，掌握化简比的方法并会化简比。

 （3）初步渗透事物是普遍联系和互相转化的辩证唯物主义观点。

过渡：本节课要达到以下学习目标。

3．出示自学指导

过渡：要达到本节课的学习目标，需要大家的共同努力，你们有信心吗？下面请看自学指导。

认真看课本第38-39页的红点内容。重点看解题思路。思考：

（1）比的基本性质是什么？它是根据什么来的？

（2）利用比的基本性质可以干什么？

（3）化简比的方法是什么？

 5分钟后，比一比谁回答的好，并能正确简算与例题类似的题。（指一生读）

4．学生自学教师巡视。

过渡：好，下面请同学们根据自学指导开始自学，比一比谁看书最认真，谁的自学效果最好！（师目光巡视每一个学生）

二、汇报交流，评价质疑

1．学生在小组内交流自己的收获和困惑。

2．班内交流。

（1）推导比的基本性质：

师：请小组代表交流第一个问题。谈话：哪个小组愿意把你们的想法和大家说一下？和组内同学交流，你发现了什么?

生1：把比的前项和后项同时乘以相同的数，看看比值的变化情况：

3:5=0.6

（3*2）：(5*2)=0.6

（3*5）：(5*5)=0.6

生2：把比的前项和后项除以相同的数，看看比值的变化情况：

18:24=0.75

(18÷2):（24÷2）=0.75

（18÷3):（24÷3）=0.75

师：这些算式的结果都是一样的，你能得出什么结论？将你的想法说给小组里的同学听。

小组讨论，教师参与到小组里。

 谈话：哪个小组愿意把你们的想法和大家说一下？ [学生自主探究后交流。]

 理解明确：比的前项和后项同时乘或除以相同的数，（0除外）比值不变。这叫做比的基本性质。

师：回顾联系以前学习的，再观察今天学习的，比的基本性质是根据什么来的？

 生3：是根据分数的基本性质来的。

生4：是根据除法的基本性质来的。

师谈话：怎样把一个整数比化成最简单的整数比？

生5：根据比的基本性质：

14:21=（14÷7）:（21÷7）=2:3

师引导学生总结整数比的化简方法：用比的前后项分别除以它们的最大公约数，使比的前后项是互质数。所以，最简单的整数比必须是一个比，它的前项和后项必须是整数，而且前后项应该是互质数．

谈话：怎样把一个分数比化成最简单的整数比？

生6：1/10:3/8=（1/10*40）：（3/8*40）=4：15

师引导学生小结分数比的化简方法：比的前项后项分别乘以它们分母的最小公倍数，就化简成最简整数比。

谈话：怎么把小数比化成最简单的整数比呢？

生7：1.25:4=125:400=（125÷25）:（400÷25）=5:16

由学生小结小数比的化简方法：先将小数化成整数，再化简成最简单的整数比。

师生共同总结化简比的方法：先要利用比的基本性质，把不是整数比的化成整数比，再把不是最简整数比的化成最简整数比。

三、抽象概括，总结提升

(学生自由说一说)

教师总结：分数比和小数比也可以用比的基本性质来化简，是分数还可以用来求比值的方法来化简，是小数先转化为整数再化简。

四、巩固应用，拓展提高

过渡：下面咱们就利用今天所学的知识来做作业，比一比谁做题最认真，最细心，书写最工整。

1.    出示课本第1题：

这是比的意义的基本练习题。练习时，除了按要求写出红细胞与血小板寿命的比以外，还可以要求学生再写出血小板与红细胞寿命的比，并在比较中加深认识：两个比的前后项交换了位置，比的意义不同。可以让学生独立完成，交流时要注意针对学生出现的错误及时进行指导。

2．自主练习第2题：

可让学生先求出路程和时间的比值，然后理解路程除以时间的实际意义。

3.自主练习第3 题。

（1）学生独立完。

（2）指明学生汇报。

（3）集体反馈。

比值通常可以是什么数?

老师强调：比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可以是整数。

四、课堂小结：

通过练习，你有什么发现？又有哪些收获？找二位同学回答，其余同学认真倾听。

总结：通过多种形式的练习，既让学生加强对本节知识的认识，又使学生能够灵活应用所学知识解决问题，并使不同层次的学生从中体会到成功的快乐