畅谈分数

数学家克罗内克有一句名言: “上帝创造了自然数, 其余都是人造的。”

1分数是我们认识自然数以后的“新朋友”。

   各国的分数教学, 多半是从“切大饼”或“分蛋糕”开始的。如, 将一个圆形大饼平均切成四块, 每块是整个大饼的 1/4 , 读作四分之一。一般地, 将一个单位平均分为若干份,表示这样的一份或几份的数称为分数。这种用“份数”来定义的分数, 易懂好学。不过, 把它作为教学的切入点可以, 但其内涵却很局限, 尤其不可形成思维定势。

   分数的真正来源在于自然数除法的推广。一个大饼, 由四个人平均分, 得到有确定大小的一块大饼。对于这个客观存在的量, 依除法的意义, 应该是 1÷4 所得的商。可是, 这种除数大于被除数的除法, 以前不能除, 因而也没有“商”。于是, “创新”的机会来了。我们把已经认识的自然数当做老朋友, 把 1÷4 的商看做新朋友, 它的名字叫做四分之一。认识了这样的“新朋友”, 任何两个自然数之间的除法就可以进行了。于是有这样的定义: 分数是两个自然数 a 和 b(b≠0)相除的商。a÷b 的商是新数 a/b , 读作 b 分之 a。当 b=1时, 分数就是自然数。

总之, 由“份数”定义到“商”的定义, 是数系的扩充。这是一次跨越、一次升华, 每个学生都必须面对。现在的教科书, 对于数的扩充只字不提, 连“分数是新朋友”这样的话也不说, 应该说是一种数学思想方法教育上的缺失。

2.分数是一个特殊的“大家庭”。

   分数运算之难, 在于通分。小学生不知道为什么要扩分、通分、约分。明明是同一个分数, 老是化来化去, 像变戏法似的, 难以捉摸。( 注:扩分是指将 1/2 写成 4/2 、 8/4 ……这一说法在香港通行, 大陆不大使用。其实, 它和约分运算一样, 彼此对立统一, 有其独立使用的价值)

3.正分数密密麻麻地分布在数射线上。

   “切大饼”是分数的直观表示,但并非最好的表示。“切大饼”是学习分数过程的一根“拐棍”, 能够独立行走了, 应该及时丢掉, 否则会影响进一步的学习。

让我们先看一个教学调查。问题是 : “从右 边 的图形中, 你看到了什么分数? ”全班学生异口同声地说: “1/4! ”“还有别的分数吗? ”大家都摇摇头.

   把这一图形看成 1/4唯一的几何解释, 是一种不当的思维定势。实际上, 除了以整个圆作为单位之外,还可以看到一块黑、三块白, 即以三块白为单位, 看到 1/3。甚至还可以看到 1/2 和 1/1 。我们不是强调分数的单位吗? 为什么单位不能多样化地选择呢?

   一个重要的几何表示是线段模型 (教学上可以用折纸条的方式得到折痕).

   这是一个半抽象的模型。首先,它的单位是抽象的“1”。虽与圆形、三角形相比有点抽象, 但是仍然是几何直观, 可以帮助学生感知分数的含义。其次, 这是数轴的雏形, 早在学习自然数的时候, 就用过这样的表示方法。再次, 通过操作可以看到分数是“填”在自然数之间的“新”数, 位置在两个相邻的自然数之间,并和分数大小、扩分、约分、通分以及运算都可以呼应。线段模型是“圆模型”和其他平面模型的“再抽象”,可以充当分数的“份数模型”向“除法的商”定义过渡的几何载体。

   我国的分数教学, 擅长分数的计算, 不太注意在数轴上直观地加以表示。其实, 这是数学素养的重要组成部分。应该让小学生知道, 正的真分数是密密麻麻地分布在(0, 1)区间上的。至少, 在(0, 1) 区间内画出所有的以 10 为分母的真分数, 加强分数和数直线之间的联系, 乃是改进分数教学的一个方面。

4.分数学习让学生面对“无限”的大门。

   由于循环小数的出现, 分数和小数的关系成了小学生学习的又一障碍。

小数的基础是十进制, 即采取10 等分而获得的分数。从理论上说, 应该是分数更为基础。但是, 小数更容易学, 生活中学生对小数的经验远比分数要多, 货币中的元、角、分, 长度度量中的米、分米、厘米, 实际使用的都是小数。因此, 就生活经验来说, 小数似乎更基本, 应该先学。

   这就产生一个问题: 只学特殊的10等分的分数——有限小数, 不学或少学一般的分数行不行? 回答是“不行”。因为有限小数只能表示一部分分数, 大量分数的小数表示却是循环小数。特别是, 无限小数不能直接进行加减乘除运算。所以分数的加减乘除化成无限小数的加减乘除是不行的。至于通过有限小数的运算和极限理论来教学, 那不是小学数学的内容。

无限, 只是人们的一种想象, 只有数学, 才真正面对无限。可以说,分数学习已经抵达了 “无限”的大门。小学阶段, 只能在大门之外望一望, 还没有办法走进去。如果问:

0.99999……=1 吗?我们只能说无限接近, 但永远达不到。

   不过, 分数的小数表示, 可以用来整体地比较大小。众所周知, 任取两个分数, 要比较他们的大小, 只要通分之后, 比较它们分子的大小即可。这是局部的关于两个数的比较。另一方面, 从整体上考察, 全体正分数是可以像自然数那样从小到大排列起来的。如果一律化成有限或无限小数, 然后按照整数位和小数位的位数, 就可以依字典式的顺序区分大小。把它们一一标在数射线上,可以直观地想象为: 所有真分数由小到大密密麻麻地排列在(0, 1) 上,左边为小, 右边为大, 没有最小的真分数, 也没有最大的真分数, 两个正分数之间没有空当。这是分数的半直观几何模型, 数轴的雏形。